Nat Phys速递：对有向网络中聚类的几何描述

　　网络几何（Network Geometry）的范式是阐释真实复杂网络的拓扑结构、多尺度组织和可导航性的全面框架。网络几何在具有对称相互作用的复杂网络中已得到充分发展，然而，许多真实的复杂网络系统同时包含对称和非对称相互作用，例如大脑连接组、食物网、通信网络和人际互动。将网络几何框架拓展到有向网络，是多年来的迫切研究课题。

　　这项研究展示了如何将网络几何范式优雅地扩展到有向网络的情况。研究中重新思考了距离与连接之间的关系，引入一种通用且灵活的网络几何框架的改进版本，以协调度量距离的内在对称性与有向网络中节点之间的非对称相互作用。该模型能够复现入度和出度的联合分布凯时官网app，以及不同类别的三角形数量（图1）凯时官网app，仅需一个额外的参数来调节互惠性水平——即同一对节点之间存在两个不同的有向链接的倾向——这是真实有向网络的基本属性。

　　更进一步，研究者使用该方法展示了有向网络中更复杂的聚类模式——通过有向链接可能出现的7种三角形构型的相对发生率，或称为三角形谱（triangle spectrum，图2）来量化——实际上是入度和出度的联合分布、互惠性以及底层度量空间中三角形不等式的副产品允许误差窄频直接打印机。

　　通过与几个代表性的实证数据集进行系统比较可以发现服务等级凯时官网app，将互惠性水平与底层几何的耦合固定在一起，能够复现真实复杂有向网络中观察到的广泛多样的聚类模式。该研究为将网络几何扩展到有向网络提供了严格路径，使这种强大的方法能够用于研究一些重要的线. 真实有向网络中的互惠性。在292个真实有向网络中，互惠性与三角形密度的关系。互惠性定义为 r = L ↔/L，其中 L↔ 是互惠链接的数量，L 是链接的数量凯时官网app。三角形密度定义为初始有向网络的无向投影的平均局部聚类系数凯时官网app。

　　图2. 建模框架背后的概念说明对称网络。（a）有向网络中三角形的7种构型。（b）通用框架中使用的联合概率 Pij 控制随机有向网络中的互惠性。（c）几何定向软构型模型，其中 pij 表示连接的概率。